Question

Основания усечённой пирамиды — квадраты со сторонами а и b, а > b. Одна из баковых граней пирамиды является равнобокой трапецией и перпендикулярна основаниям, а противолежащая ей грань образует с большим основанием угол а. Найдите объём усечённой пирамиды.

Answer 1

дано:
a - сторона большего основания усеченной пирамиды (в м) b - сторона меньшего основания усеченной пирамиды (в м) α - угол между противолежащей гранью и большим основанием

найти:

V - объем усеченной пирамиды (в м³)

решение:

Площади оснований:

S1 (большее основание) = a² S2 (меньшее основание) = b²

Высота усеченной пирамиды (h) можно найти, используя тот факт, что одна боковая грань является равнобокой трапецией и перпендикулярна основаниям. Высота этой трапеции равна высоте усеченной пирамиды. В этой трапеции основания равны a и b, а боковые стороны равны.

h = √( (a-b)²/4 + (a-b)²/4) = (a-b)/√2

Угол α между противолежащей гранью и большим основанием не влияет на объем усеченной пирамиды, так как объем определяется площадями оснований и высотой.

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

V = (1/3) * h * (S1 + √(S1*S2) + S2) = (1/3) * h * (a² + ab + b²)

Подставим h:

V = (1/3) * ((a - b) / √2) * (a² + ab + b²)

Ответ:
(a - b)(a² + ab + b²) / (3√2)