Дано:
- Радиус меньшего основания r1 = 1 см,
- Радиус большего основания r2 = 3 см,
- Образующая усечённого конуса l = 2√5 см.
Найти: объём усечённого конуса.
Решение:
1. Формула для объёма усечённого конуса:
V = (1/3) * π * h * (r1² + r1 * r2 + r2²),
где h — высота усечённого конуса, r1 и r2 — радиусы оснований.
2. Для нахождения высоты h используем теорему Пифагора. Образующая l, радиусы оснований r1 и r2 и высота h образуют прямоугольный треугольник, где гипотенуза — это образующая, а катеты — разница радиусов оснований и высота. Разница радиусов оснований:
r2 - r1 = 3 - 1 = 2 см.
Теперь по теореме Пифагора:
l² = h² + (r2 - r1)²
(2√5)² = h² + 2²
20 = h² + 4
h² = 16
h = 4 см.
3. Теперь, зная высоту h, можно найти объём по формуле:
V = (1/3) * π * 4 * (1² + 1 * 3 + 3²)
V = (1/3) * π * 4 * (1 + 3 + 9)
V = (1/3) * π * 4 * 13
V = (1/3) * π * 52
V = 52π / 3 см³.
Ответ: объём усечённого конуса V ≈ 54,45 см³ (с использованием π ≈ 3,1416).