Дано:
- Хорда основания конуса стягивает дугу, градусная мера которой равна 60°.
- Отрезок, соединяющий вершину конуса с серединой данной хорды, образует с плоскостью основания конуса угол 60°.
- Высота конуса h = √3 см.
Найти: объём конуса.
Решение:
1. Из условия задачи угол между образующей и основанием конуса равен 60°. Это означает, что угол между высотой конуса и образующей также равен 60°.
2. Вспомним, что хорда основания стягивает дугу 60°, а радиус основания конуса будет связан с хордовым отрезком с помощью геометрии окружности. Мы можем выразить радиус основания через хорду и угол, который она стягивает.
Площадь круга, на котором расположено основание конуса, определяется радиусом основания. Мы можем найти этот радиус с использованием следующих шагов.
3. Теперь определим радиус основания R через угол 60°. У нас есть формула для хорды, которая стягивает дугу 60°:
a = 2R * sin(60° / 2) = 2R * sin(30°).
Так как sin(30°) = 1/2, то:
a = 2R * (1/2) = R.
Таким образом, радиус основания R равен длине хорды, то есть:
R = a (где a — длина хорды).
4. Теперь найдем высоту h. Из условия задачи угол между высотой и образующей конуса равен 60°. Используем тригонометрическое соотношение для прямоугольного треугольника, образованного радиусом основания, высотой и образующей:
tan(60°) = R / h.
Зная, что tan(60°) = √3, получаем:
√3 = R / h.
Так как h = √3 см, подставим это в уравнение:
√3 = R / √3.
Отсюда R = 3 см.
5. Теперь, зная радиус основания R и высоту h, можем найти объём конуса по формуле:
V = (1/3) * π * R² * h.
Подставим значения:
V = (1/3) * π * (3)² * √3 = (1/3) * π * 9 * √3 = 3π√3 см³.
Ответ: объём конуса равен 3π√3 см³.