Дано:
- Катет a (в СИ)
- Угол α между катетом a и гипотенузой
Найти: объём тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы.
Решение:
1. Обозначим катет a, а угол между катетом a и гипотенузой равен α. Из геометрии прямоугольного треугольника можно найти длину второго катета (катет b) и гипотенузы (c) через катет a и угол α:
b = a * tan(α),
c = a / sin(α).
2. При вращении треугольника вокруг гипотенузы образуется тело, которое является усечённым конусом. Объём этого тела можно найти с использованием формулы для объёма усечённого конуса. Радиусы оснований этого усечённого конуса равны длинам катетов a и b:
V = (1/3) * π * h * (R² + Rr + r²),
где
h — длина гипотенузы c,
R — радиус большего основания, равный a,
r — радиус меньшего основания, равный b.
3. Подставим известные данные в формулу:
V = (1/3) * π * c * (a² + a * b + b²),
где c = a / sin(α), b = a * tan(α).
4. Подставим выражения для b и c в объём:
V = (1/3) * π * (a / sin(α)) * (a² + a * (a * tan(α)) + (a * tan(α))²).
5. Упростим выражение:
V = (1/3) * π * (a / sin(α)) * (a² + a² * tan(α) + a² * tan²(α)).
V = (1/3) * π * (a / sin(α)) * a² * (1 + tan(α) + tan²(α)).
6. Получаем окончательную формулу для объёма:
V = (1/3) * π * a³ * (1 + tan(α) + tan²(α)) / sin(α).
Ответ: объём тела равен (1/3) * π * a³ * (1 + tan(α) + tan²(α)) / sin(α) кубических метров.