Дано:
- Треугольник со сторонами 10 см, 17 см и 21 см.
- Необходимо найти объём тела, полученного вращением этого треугольника вокруг прямой, содержащей его большую сторону (21 см).
Найти: объём тела вращения.
Решение:
1. Сначала определим, какой геометрической фигурой является тело, получаемое вращением. Поскольку треугольник вращается вокруг своей стороны, то полученное тело будет конусом с основанием в виде окружности и вершиной, находящейся на противоположной вершине треугольника.
2. Применим формулу для объёма тела вращения:
Объём конуса V = (1/3) * π * R² * h,
где R — радиус основания, h — высота конуса.
3. Сначала найдём высоту треугольника (h), используя формулу для площади треугольника через её стороны (формула Герона). Для этого вычислим полупериметр:
p = (a + b + c) / 2 = (10 + 17 + 21) / 2 = 24 см.
4. Площадь треугольника по формуле Герона:
S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))
= √(24 * (24 - 10) * (24 - 17) * (24 - 21))
= √(24 * 14 * 7 * 3)
= √(7056)
= 84 см².
5. Для нахождения высоты треугольника используем формулу площади треугольника:
S = (1/2) * основание * высота,
где основание — это большая сторона треугольника, то есть 21 см.
84 = (1/2) * 21 * h,
h = (84 * 2) / 21 = 8 см.
6. Теперь, когда мы знаем высоту треугольника (h = 8 см), можно найти объём тела вращения. Радиус основания конуса будет равен высоте треугольника, так как треугольник вращается вокруг своей большой стороны, и вершина его описывает окружность.
Таким образом, радиус основания R = 8 см.
7. Подставим все данные в формулу для объёма конуса:
V = (1/3) * π * R² * h
= (1/3) * π * 8² * 8
= (1/3) * π * 64 * 8
= (1/3) * π * 512
= 512π / 3 см³.
Ответ: объём тела равен 512π / 3 см³, что примерно равно 537,6 см³.