Дано:
- Гипотенуза прямоугольного треугольника c = 10 см,
- Один из углов α = 60°.
Найти: объём тела, полученного в результате вращения данного треугольника вокруг прямой, содержащей катет, прилежащий к углу α.
Решение:
1. Используем тригонометрические функции для нахождения катетов треугольника. Пусть катет, прилежащий к углу α, равен a, а катет, противоположный углу α, равен b.
- a = c * cos(α) = 10 * cos(60°) = 10 * (1/2) = 5 см.
- b = c * sin(α) = 10 * sin(60°) = 10 * (√3 / 2) ≈ 8,660 см.
2. Теперь, чтобы найти объём тела вращения, будем использовать формулу для объёма конуса, так как вращение треугольника вокруг катета, прилежащего к углу α, образует конус. Радиус основания конуса будет равен b, а высота — a.
Объём конуса V = (1/3) * π * r² * h.
Подставляем значения:
- r = b ≈ 8,660 см,
- h = a = 5 см.
V = (1/3) * π * (8,660)² * 5
V ≈ (1/3) * π * 75,000 * 5
V ≈ (1/3) * π * 375,000
V ≈ 392,699 см³.
Ответ: объём тела ≈ 392,699 см³.