Дано:
- Длина стороны ромба a = 6 см
- Острый угол ромба α = 60°
Найти:
- Объём тела, образованного при вращении ромба вокруг прямой, проходящей через вершину острого угла и перпендикулярно его стороне.
Решение:
1. Найдем высоту ромба h, опущенную на основание. В ромбе высота может быть найдена с использованием синуса острого угла:
h = a * sin(α),
h = 6 * sin(60°),
h = 6 * (√3/2) = 3√3 см.
2. При вращении ромба вокруг оси, проходящей через вершину острого угла, сторона ромба будет описывать круг, радиус которого равен высоте ромба. Таким образом, радиус r = h = 3√3 см.
3. Объём фигуры, образовавшейся при вращении, будет объёмом конуса с радиусом r и высотой a:
V_cone = (1/3) * π * r² * h.
4. Подставляем значения:
V_cone = (1/3) * π * (3√3)² * 6,
V_cone = (1/3) * π * 27 * 6,
V_cone = (1/3) * π * 162,
V_cone = 54π см³.
Ответ:
Объём образовавшегося тела составляет 54π см³ или примерно 169.65 см³.