Дано:
- Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды b
- Угол между боковым ребром и плоскостью основания a
Найти:
- Объём конуса, описанного около данной пирамиды.
Решение:
1. Для начала найдём высоту h правильной четырёхугольной пирамиды. Высота может быть выражена как:
h = b * cos(a).
2. Площадь основания S правильной четырёхугольной (квадратной) пирамиды можно выразить через сторону основания a:
S = a².
3. Теперь необходимо найти радиус R описанного конуса. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата, которая вычисляется по формуле:
R = a * √2 / 2.
4. Теперь мы можем выразить объём конуса V, используя формулу для объёма конуса:
V = (1/3) * π * R² * h.
5. Подставим найденные значения R и h:
V = (1/3) * π * (a * √2 / 2)² * (b * cos(a)),
V = (1/3) * π * (a² * 2 / 4) * (b * cos(a)),
V = (1/6) * π * a² * b * cos(a).
Ответ:
Объём конуса, описанного около данной пирамиды, составляет (1/6) * π * a² * b * cos(a) см³.