Дано:
- Длина ребра правильного тетраэдра a (в СИ)
Найти:
- Объём шара V, вписанного в правильный тетраэдр
Решение:
1. Радиус r шара, вписанного в правильный тетраэдр, можно выразить через длину его ребра a. Формула для радиуса вписанного шара в тетраэдр:
r = a / (2 * √6)
2. Объём шара рассчитывается по формуле:
V = (4/3) * π * r³
3. Подставим выражение для r в формулу объёма:
V = (4/3) * π * (a / (2 * √6))³
4. Упростим выражение:
V = (4/3) * π * [a³ / (8 * 6√6)]
V = (4/3) * π * [a³ / (48√6)]
V = (π * a³) / (36√6)
Ответ:
Объём шара, вписанного в правильный тетраэдр, составляет (π * a³) / (36√6) м³.