Дано:
- Квадрат ABCD со стороной a (в СИ)
- Диагонали квадрата пересекаются в точке O
- Прямая, проведенная через середину отрезка BO, параллельна диагонали AC
Найти:
- Отношение площадей фигур, на которые прямая разбивает квадрат ABCD
Решение:
1. Найдём координаты вершин квадрата ABCD. Пусть:
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- C(a, a)
- D(0, a)
2. Координаты точки O, пересечения диагоналей, будут равны:
O(a/2, a/2).
3. Середина отрезка BO, обозначим её M, будет находиться по следующим координатам:
M = ((a + a/2) / 2, (0 + a/2) / 2) = (3a/4, a/4).
4. Уравнение прямой, проходящей через точку M и параллельной диагонали AC, можно выразить. Диагональ AC имеет угол наклона 1 (так как y=x), следовательно, уравнение прямой, проходящей через M и имеющей такой же наклон, будет:
y - a/4 = (x - 3a/4).
5. Упростим уравнение:
y = x - 3a/4 + a/4,
y = x - 2a/4,
y = x - a/2.
6. Чтобы найти точки пересечения этой прямой с границами квадрата, подставим значения x и y для сторон квадрата (y=0 и x=a):
1) Для y = 0:
0 = x - a/2 → x = a/2.
Точка P(a/2, 0).
2) Для x = a:
y = a - a/2 = a/2.
Точка Q(a, a/2).
7. Теперь мы можем вычислить площади фигур, образованных линией PQ и сторонами квадрата.
Площадь треугольника OPQ:
P, O, Q имеют координаты:
P(a/2, 0),
O(a/2, a/2),
Q(a, a/2).
Площадь треугольника OPQ = 1/2 * основание * высота = 1/2 * (a - a/2) * (a/2) = 1/2 * (a/2) * (a/2) = a^2 / 8.
8. Площадь квадрата ABCD составляет:
S = a^2.
9. Площадь фигуры, находящейся выше линии PQ, будет равна:
S_верх = S - S_треугольник = a^2 - a^2 / 8 = (8a^2 - a^2) / 8 = 7a^2 / 8.
10. Отношение площадей фигур:
Отношение = Площадь треугольника OPQ : Площадь фигуры выше линии PQ = (a^2 / 8) : (7a^2 / 8) = 1 : 7.
Ответ:
Отношение площадей фигур, на которые прямая разбивает квадрат ABCD, составляет 1 : 7.