Дано:
- Тетраэдр DABC с вершинами A, B, C и D
- Медианы грани ABC пересекаются в точке O
- На ребре CD отмечена точка M так, что CM : MD = 3 : 1
Найти:
- Вектор OМ через векторы AC, AB и AD
Решение:
1. Запишем координаты точек векторами:
- A = a
- B = b
- C = c
- D = d
2. Найдём вектор O, который является центром масс треугольника ABC. Он находится как среднее арифметическое вершин:
O = (A + B + C) / 3 = (a + b + c) / 3.
3. Также нужно определить координаты точки M на ребре CD. Если CM : MD = 3 : 1, то это значит, что точка M делит отрезок CD в отношении 3:1. Мы можем выразить вектор M следующим образом:
M = (3/4)C + (1/4)D = (3/4)c + (1/4)d.
4. Теперь выразим вектор OM:
OM = M - O.
Подставляем выражения для O и M:
OM = [(3/4)c + (1/4)d] - [(a + b + c) / 3].
5. Упростим это выражение:
OM = (3/4)c + (1/4)d - (a + b + c) / 3
= (3/4)c + (1/4)d - (3a + 3b + 3c) / 9
= (3/4)c + (1/4)d - (3/9)(a + b + c)
= (3/4)c + (1/4)d - (1/3)(a + b + c).
6. Для приведения к общему знаменателю упростим:
OM = (3/4)c + (1/4)d - (1/3)a - (1/3)b - (1/3)c
= [((3 * 3) - 4) / 12]c + (1/4)d - (1/3)a - (1/3)b
= (5/12)c + (1/4)d - (1/3)a - (1/3)b.
Ответ:
Вектор OМ можно выразить как OM = (5/12)AC + (1/4)AD - (1/3)AB.