Дано:
- Площадь первого сечения S1 = 400π см².
- Площадь второго сечения S2 = 49π см².
- Расстояние между плоскостями сечений h = 9 см.
Найти:
- Площадь поверхности шара S.
Решение:
1. Площадь сечения шара выражается через радиус окружности этого сечения:
S = π * r².
2. Найдем радиусы сечений для обоих значений площадей:
Для первого сечения:
S1 = π * r1².
400π = π * r1².
400 = r1².
r1 = √400 = 20 см.
Для второго сечения:
S2 = π * r2².
49π = π * r2².
49 = r2².
r2 = √49 = 7 см.
3. Теперь определим расстояния от центра шара до каждой из плоскостей сечений. Обозначим расстояние от центра до первого сечения как d1, а до второго сечения как d2. Так как расстояние между сечениями равно 9 см, то можно записать:
d1 - d2 = 9 см.
4. Также знаем, что радиусы сечений и расстояния от центра связаны по формуле:
R² = d1² + r1²
R² = d2² + r2²,
где R — радиус шара.
5. Подставим выражения для d1 и d2:
d1 = d2 + 9 см.
6. Подставив d1 в первую формулу:
R² = (d2 + 9)² + (20)².
Подставляем во вторую формулу:
R² = d2² + (7)².
7. Приравняем оба выражения для R²:
(d2 + 9)² + 400 = d2² + 49.
8. Раскроем скобки:
d2² + 18d2 + 81 + 400 = d2² + 49.
9. Упростим уравнение:
18d2 + 481 = 49,
18d2 = 49 - 481,
18d2 = -432,
d2 = -432 / 18,
d2 = -24 см.
10. Выразим d1:
d1 = d2 + 9 = -24 + 9 = -15 см.
11. Найдем R:
R² = d1² + r1² = (-15)² + 20² = 225 + 400 = 625.
R = √625 = 25 см.
12. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:
S = 4 * π * R².
Подставим значение R:
S = 4 * π * (25)² = 4 * π * 625 = 2500π см².
Ответ:
Площадь поверхности шара равна 2500π см².