Дано:
- Радиус первого сечения r1 = 5 см.
- Радиус второго сечения r2 = 12 см.
Найти:
- Площадь поверхности шара S.
Решение:
1. В данной задаче сечения шара имеют общую точку и перпендикулярны друг другу. Это означает, что радиусы первого и второго сечений образуют пружинный треугольник вместе с радиусом шара.
2. Обозначим радиус шара R, расстояния от центра шара до плоскостей сечений как d1 и d2. Тогда по теореме Пифагора можно записать:
R² = d1² + r1²,
R² = d2² + r2².
3. Так как мы знаем, что d1 и d2 связаны следующим образом:
d1 + d2 = h (где h - расстояние между двумя плоскостями).
Однако в данной задаче мы можем не вычислять h, так как нам достаточно использовать только radii.
4. Выразив d1 из первой формулы, получаем:
d1² = R² - r1²,
d2² = R² - r2².
5. Учитывая, что у нас есть два уравнения для R²:
R² - r1² = d1²,
R² - r2² = d2².
6. Из этих уравнений можно выразить d1 и d2 в терминах R:
d1 = √(R² - r1²),
d2 = √(R² - r2²).
7. Подставим r1 и r2:
d1 = √(R² - 5²) = √(R² - 25),
d2 = √(R² - 12²) = √(R² - 144).
8. Поскольку d1 и d2 не могут быть отрицательными, R должен быть больше, чем максимальные радиусы сечений (то есть R > 12 см).
9. Теперь найдем R из соотношения:
Установим равенство двух выражений для R²:
R² - 25 + R² - 144 = 0.
10. Это уравнение упрощается до:
2R² - 169 = 0,
R² = 169 / 2,
R² = 84.5.
11. Таким образом, R = √84.5 ≈ 9.2 см.
12. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:
S = 4 * π * R².
13. Подставим найденное значение R:
S = 4 * π * (9.2)²
≈ 4 * π * 84.64
≈ 338.56π см².
Ответ:
Площадь поверхности шара составляет приблизительно 338.6π см².