Дано:
- Параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
- Диагонали параллелепипеда пересекаются в точке O.
Найти:
Сумму векторов |AB| + |CO| + |B1O|.
Решение:
1. Обозначим координаты вершин параллелепипеда:
- A (0; 0; 0)
- B (a; 0; 0)
- C (a; b; 0)
- D (0; b; 0)
- A1 (0; 0; c)
- B1 (a; 0; c)
- C1 (a; b; c)
- D1 (0; b; c)
2. Находим вектор AB:
|AB| = B - A = (a - 0; 0 - 0; 0 - 0) = (a; 0; 0).
3. Находим координаты точки O, которая является точкой пересечения диагоналей AC1 и BD1. Координаты этих точек:
- A = (0; 0; 0)
- C1 = (a; b; c)
- B = (a; 0; 0)
- D1 = (0; b; c)
Теперь находим координаты O:
O будет серединой отрезка AC1 и отрезка BD1:
O = (A + C1)/2 = ((0 + a)/2; (0 + b)/2; (0 + c)/2) = (a/2; b/2; c/2).
4. Теперь найдем вектор CO:
|CO| = O - C = (a/2 - a; b/2 - b; c/2 - 0) = (-a/2; -b/2; c/2).
5. Найдем вектор B1O:
|B1O| = O - B1 = (a/2 - a; b/2 - 0; c/2 - c) = (-a/2; b/2; -c/2).
6. Сложим все векторы:
|AB| + |CO| + |B1O| = (a; 0; 0) + (-a/2; -b/2; c/2) + (-a/2; b/2; -c/2).
Сложим по координатам:
x-координата: a - a/2 - a/2 = a - a = 0,
y-координата: 0 - b/2 + b/2 = 0,
z-координата: 0 + c/2 - c/2 = 0.
Таким образом,
|AB| + |CO| + |B1O| = (0; 0; 0).
Ответ:
Сумма векторов |AB| + |CO| + |B1O| = (0; 0; 0).