Дано:
- Точка A(4, -5, 3)
- Точка B(6, 1, 5)
Найти:
Уравнение сферы, диаметром которой является отрезок AB.
Решение:
1. Найдем координаты центра сферы. Центр C находитсся в середине отрезка AB. Формула для нахождения середины:
C(x_c, y_c, z_c) = ((x_A + x_B) / 2, (y_A + y_B) / 2, (z_A + z_B) / 2).
Подставим координаты точек A и B:
x_c = (4 + 6) / 2 = 10 / 2 = 5,
y_c = (-5 + 1) / 2 = -4 / 2 = -2,
z_c = (3 + 5) / 2 = 8 / 2 = 4.
Таким образом, центр сферы C(5, -2, 4).
2. Найдем радиус сферы. Радиус R равен половине длины отрезка AB. Сначала найдем длину отрезка AB, используя формулу расстояния между двумя точками:
d = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)²).
Подставляем значения:
d = √((6 - 4)² + (1 - (-5))² + (5 - 3)²)
= √((2)² + (1 + 5)² + (2)²)
= √(4 + 6² + 4)
= √(4 + 36 + 4)
= √44.
Теперь радиус:
R = d / 2 = √44 / 2 = 2√11.
3. Уравнение сферы с центром C(x_c, y_c, z_c) и радиусом R имеет вид:
(x - x_c)² + (y - y_c)² + (z - z_c)² = R².
Подставляем значения центра и радиуса:
(x - 5)² + (y + 2)² + (z - 4)² = (2√11)².
4. Упростим уравнение:
(x - 5)² + (y + 2)² + (z - 4)² = 4 * 11
= 44.
Ответ:
Уравнение сферы: (x - 5)² + (y + 2)² + (z - 4)² = 44.