дано:
- Прямая a проходит через начало координат (0, 0, 0) и точку A (1, 2, 3).
- Уравнение сферы: x^2 + y^2 + z^2 = 56.
найти:
Координаты точек пересечения прямой a и сферы.
решение:
1. Находим параметрическое уравнение прямой a. Пусть t — параметр. Тогда координаты точки на прямой можно записать как:
x = t,
y = 2t,
z = 3t.
2. Подставим выражения для x, y и z в уравнение сферы:
(t)^2 + (2t)^2 + (3t)^2 = 56.
3. Раскроем скобки и упростим:
t^2 + 4t^2 + 9t^2 = 56,
14t^2 = 56.
4. Разделим обе стороны уравнения на 14:
t^2 = 4.
5. Найдем значение t:
t = ±2.
6. Теперь подставим значения t обратно в параметрическое уравнение прямой, чтобы найти координаты точек пересечения.
Для t = 2:
x = 2,
y = 2 * 2 = 4,
z = 3 * 2 = 6.
Точка P1(2, 4, 6).
Для t = -2:
x = -2,
y = 2 * (-2) = -4,
z = 3 * (-2) = -6.
Точка P2(-2, -4, -6).
ответ:
Координаты точек пересечения прямой a и сферы:
P1(2, 4, 6) и P2(-2, -4, -6).