дано:
- Объём правильного тетраэдра равен V.
найти:
Объём тетраэдра, вершинами которого являются центры граней данного тетаэдра.
решение:
1. Правильный тетраэдр имеет 4 грани, каждая из которых является равнобедренным треугольником. Обозначим длину ребра тетраэдра как a.
2. Объём правильного тетраэдра можно выразить через его ребро:
V = (a^3) / (6√2).
3. Центры граней правильного тетраэдра образуют новый тетраэдр, который называется тетраэдром, вписанным в данный. Этот новый тетраэдр также является правильным.
4. Длина ребра нового тетраэдра (тетраэдра, вершинами которого являются центры граней) будет равна половине длины высоты исходного тетраэдра.
5. Высота H правильного тетраэдра вычисляется по формуле:
H = (a √2) / √3.
6. Длина ребра нового тетраэдра (обозначим её как b) равна:
b = H / 3 = (a √2) / (3√3).
7. Теперь можем выразить объём нового тетраэдра через его ребро b:
Объём нового тетраэдра W = (b^3) / (6√2).
8. Подставим значение b в формулу для объёма:
W = (((a √2) / (3√3))^3) / (6√2)
= (2a^3) / (27 * 3√2)
= (2a^3) / (81√2).
9. Теперь выразим W через V:
V = (a^3) / (6√2),
следовательно,
a^3 = 6V√2.
10. Подставляя a^3 в выражение для объёма нового тетраэдра:
W = (2(6V√2)) / (81√2)
= (12V) / (81)
= (4V) / (27).
ответ:
Объём тетраэдра, вершинами которого являются центры граней данного тетраэдра, равен (4V) / (27).