дано:
- Радиус шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, равен R = 2√3 см.
найти:
Объём V правильной треугольной пирамиды.
решение:
1. В правильной треугольной пирамиде радиус описанной сферы (шара) связан с длиной ребра a следующим образом:
R = a * √6 / 12.
2. Подставим известное значение радиуса R в формулу и найдем длину ребра a:
2√3 = a * √6 / 12.
3. Умножим обе стороны на 12:
24√3 = a * √6.
4. Разделим обе стороны на √6:
a = 24√3 / √6 = 24√(3/6) = 24√(1/2) = 12√2.
5. Теперь найдём объём V правильной треугольной пирамиды по формуле:
V = (a^3 * √2) / 12.
6. Подставляем найденное значение a:
V = ( (12√2)^3 * √2 ) / 12.
7. Вычисляем (12√2)^3:
(12√2)^3 = 12^3 * (√2)^3 = 1728 * 2√2 = 3456√2.
8. Теперь подставим это значение в формулу для V:
V = (3456√2 * √2) / 12 = (3456 * 2) / 12 = 6912 / 12 = 576.
ответ:
Объём правильной треугольной пирамиды равен 576 см³.