дано:
- сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды l (в метрах)
- плоский угол при вершине пирамиды α (в градусах)
найти:
- объём конуса V (в кубических метрах), описанного около данной пирамиды
решение:
Сначала найдем высоту h пирамиды. Для этого нужно выразить её через сторону основания и угол α. Высота h связана с половиной стороны основания и углом α следующим образом:
h = (l / 2) * tg(α)
Здесь tg(α) - тангенс угла α.
Теперь найдем радиус R описанного конуса. Он равен длине отрезка, соединяющего вершину пирамиды с центром основания. Центр основания правильной пирамиды расположен на пересечении диагоналей квадрата, поэтому радиус R равен половине длины диагонали основания.
Длина диагонали D правильного четырехугольника (квадрата) со стороной l равна:
D = l * √2
Поэтому радиус R будет равен:
R = D / 2 = (l * √2) / 2 = (l√2) / 2
Теперь можем найти объём V конуса по формуле:
V = (1/3) * π * R² * H
где H - высота, которую мы уже нашли.
Подставим R и H в формулу:
V = (1/3) * π * [(l√2) / 2]² * h
Раскроем квадрат:
V = (1/3) * π * [(l² * 2) / 4] * [(l / 2) * tg(α)]
Упростим:
V = (1/3) * π * [l² / 2] * [(l / 2) * tg(α)]
Теперь соберем всё вместе:
V = (π * l³ * tg(α)) / 12
Таким образом, объём конуса, описанного около данной пирамиды, можно выразить как:
V = (π * l³ * tg(α)) / 12
ответ:
Объём конуса V = (π * l³ * tg(α)) / 12 (в кубических метрах)