Дано:
Площадь треугольника ABC = 24 см².
На стороне AB отмечены точки D и F, такие что AD = BF = 1/4 * AB.
На стороне BC отмечены точки P и M, такие что CM = BP = 1/4 * BC.
Найти: площадь четырёхугольника DFPM.
Решение:
1. Обозначим длины сторон треугольника ABC как AB = c, BC = a, CA = b.
2. Площадь треугольника ABC = 24 см², то есть S_ABC = 24 см².
3. Точки D и F делят сторону AB на части так, что AD = 1/4 * AB и BF = 1/4 * AB. Таким образом, отрезки AD = DF = FB = 1/4 * AB.
4. Точки P и M на стороне BC делят её на части, такие что BP = 1/4 * BC и CM = 1/4 * BC. Таким образом, отрезки BP = PM = MC = 1/4 * BC.
5. Чтобы найти площадь четырёхугольника DFPM, нужно учитывать, что его вершины находятся внутри треугольника ABC, и можно использовать пропорции для нахождения площади подобных треугольников.
6. Площадь четырёхугольника DFPM можно вычислить через площади треугольников, образованных этими точками, с использованием соотношений по пропорциональности.
7. Треугольники DFP, DFM, BFP и BFM составляют внутри треугольника ABC подобные фигуры с коэффициентом подобия 1/4, так как каждая из сторон этих треугольников равна 1/4 соответствующей стороны треугольника ABC.
8. Площадь подобного треугольника пропорциональна квадрату коэффициента подобия. Площадь каждого из треугольников DF, DP, FM и PM составляет 1/16 от площади треугольника ABC.
9. Площадь четырёхугольника DFPM можно выразить как разницу между площадью треугольника ABC и суммой площадей треугольников, образованных точками D, F, P и M.
10. Площадь четырёхугольника DFPM = Площадь треугольника ABC - Площадь треугольников, образованных точками D, F, P и M. Площадь каждого из этих треугольников = 1/16 * S_ABC.
11. Площадь четырёхугольника DFPM = 24 - (1/16 * 24 * 4) = 24 - 6 = 18 см².
Ответ: площадь четырёхугольника DFPM равна 18 см².