Дано:
Основание равнобедренного треугольника равно 40 см, высота, проведённая к основанию, равна 15 см.
Найти расстояние между точками касания окружности, вписанной в треугольник, с его боковыми сторонами.
Решение:
1. Обозначим:
- основание треугольника: b = 40 см,
- высота, проведённая к основанию: h = 15 см,
- боковые стороны треугольника: a (нужно найти).
2. Для нахождения боковой стороны треугольника применим теорему Пифагора для одного из прямоугольных треугольников, образованных высотой:
(a)² = (b/2)² + h².
Подставляем известные значения:
(a)² = (40/2)² + 15²,
(a)² = 20² + 15²,
(a)² = 400 + 225,
(a)² = 625,
a = 25 см.
Таким образом, боковая сторона треугольника равна 25 см.
3. Теперь найдём радиус вписанной окружности. Для этого используем формулу радиуса вписанной окружности для треугольника:
r = S / p,
где S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника.
4. Площадь треугольника S вычисляется как:
S = (1/2) * b * h = (1/2) * 40 * 15 = 300 см².
5. Полупериметр треугольника p вычисляется как:
p = (a + a + b) / 2 = (25 + 25 + 40) / 2 = 90 / 2 = 45 см.
6. Теперь можем найти радиус вписанной окружности:
r = S / p = 300 / 45 = 20/3 ≈ 6.67 см.
7. Для нахождения расстояния между точками касания окружности с боковыми сторонами треугольника используем формулу:
D = 2r.
Подставляем значение радиуса:
D = 2 * 6.67 = 13.34 см.
Ответ: расстояние между точками касания окружности с боковыми сторонами треугольника равно 13.34 см.