Дано:
1. Высота BK = 26 см.
2. Отношение сторон AB : AC = 6 : 7.
Найти:
Отрезок MD.
Решение:
1. Обозначим длины сторон AB и AC. Пусть AB = 6k и AC = 7k, где k — общий коэффициент.
2. Площадь треугольника ABC можно выразить через высоту BK и основание AC:
S = (1/2) * AC * BK = (1/2) * (7k) * 26 = 91k см².
3. Площадь треугольника ABC также можно выразить через высоту AM (биссектрисы) и основание AB:
S = (1/2) * AB * AM = (1/2) * (6k) * AM = 3k * AM см².
4. Уравняем обе площади:
91k = 3k * AM.
AM = 91 / 3 см.
5. Теперь найдем длину отрезка MD (перпендикуляра, опущенного из точки M на сторону AC). Мы можем использовать теорему о биссектрисе. По свойству биссектрисы:
AM / MB = AC / AB.
Подставим значения:
(91 / 3) / MB = 7k / 6k = 7 / 6.
6. Найдем значение MB:
MB = (91 / 3) * (6 / 7) = 78 / 7 см.
7. Теперь, зная BM и BK, можем найти высоту MD. Так как MD и BK являются высотами в соответствующих треугольниках, используя теорему Пифагора:
MD² + MB² = BK².
MD² + (78 / 7)² = 26².
MD² + (6084 / 49) = 676.
MD² = 676 - (6084 / 49).
Приведем 676 к общему знаменателю:
676 = 33076 / 49.
MD² = (33076 - 6084) / 49 = 26992 / 49.
MD = √(26992 / 49) = √(551.20) ≈ 23.5 см.
Ответ:
Отрезок MD равен примерно 23.5 см.