Дано:
Длина сторон треугольника: AB = 13 см, BC = 13 см, AC = 10 см.
Найти:
Площадь треугольника MVK.
Решение:
1. Сначала найдем площадь треугольника ABC. Для этого воспользуемся формулой Герона. Полупериметр p треугольника:
p = (AB + BC + AC) / 2 = (13 + 13 + 10) / 2 = 18 см.
2. Площадь S треугольника ABC по формуле Герона:
S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC)).
Подставим значения:
S = √(18 * (18 - 13) * (18 - 13) * (18 - 10)) = √(18 * 5 * 5 * 8).
Упрощаем:
S = √(18 * 25 * 8) = √(3600) = 60 см².
3. Теперь найдем радиус вписанной окружности r. Радиус можно найти по формуле:
r = S / p = 60 / 18 = 10/3 см.
4. Касательная к вписанной окружности, проведенная параллельно основанию AC, делит высоту треугольника ABC на две части. Обозначим высоту треугольника ABC как h.
5. Высоту h можно найти следующим образом. Площадь S также можно выразить через основание AC и высоту h:
S = (1/2) * AC * h.
Подставим значения:
60 = (1/2) * 10 * h.
h = 60 / 5 = 12 см.
6. Высота от точки B до основания AC равна 12 см. Поскольку касательная параллельна основанию AC и делит эту высоту в отношении r/(h - r) = (10/3) / (12 - 10/3).
7. Упрощаем:
h - r = 12 - 10/3 = 26/3 см.
Отношение деления высоты:
r / (h - r) = (10/3) / (26/3) = 10 / 26 = 5 / 13.
8. Теперь найдем отношение, в котором касательная делит стороны AB и BC. Обозначим это отношение как k.
k = 5 / (5 + 13) = 5 / 18.
9. Площадь треугольника MVK будет равна площади треугольника ABC, умноженной на отношение:
S_MВK = S * (5 / 18).
Теперь подставим значения:
S_MВK = 60 * (5 / 18) = 50/3 см².
Ответ:
Площадь треугольника MВK равна 10/3 см².