Дано:
1. Большая боковая сторона трапеции (AB) равна 16 см.
2. Острый угол (∠DAB) равен 30°.
Найти:
Площадь трапеции.
Решение:
1. Поскольку в трапецию можно вписать окружность, она является вписанной, а значит, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:
a + b = c + d,
где a и b — основания, c и d — боковые стороны.
2. Обозначим большую сторону (AB) как c = 16 см и меньшую боковую сторону (BC) как d. Остальные стороны обозначим как a (большое основание) и b (малое основание).
3. Известно, что угол ∠DAB = 30°. В этом треугольнике можно выразить высоту h через боковую сторону AB:
h = AB * sin(30°).
4. Значение sin(30°) равно 1/2:
h = 16 * (1/2) = 8 см.
5. Теперь найдем длину основания a. В прямоугольной трапеции с вписанной окружностью длина основания a можно выразить через боковую сторону и угол:
a = c + 2 * h * tan(30°).
6. Значение tan(30°) равно 1/√3:
a = 16 + 2 * 8 * (1/√3).
a = 16 + 16/√3.
a = 16 + (16√3 / 3).
7. Обозначим основание b через h и угол:
b = c - 2 * h * tan(30°) = 16 - 16/√3 = 16 - (16√3/3).
8. Площадь трапеции S можно вычислить по формуле:
S = (a + b) * h / 2.
9. Подставим значения a и b:
S = [(16 + (16√3 / 3)) + (16 - (16√3 / 3))] * 8 / 2.
S = [32] * 8 / 2 = 32 * 4 = 128 см².
Ответ:
Площадь трапеции равна 128 см².