Дано:
1. Параллелограмм ABCD, где a = AB, b = AD.
2. Точка M на стороне CD так, что CM : MD = 2 : 3.
Найти:
Выразить вектор AM через векторы a и b.
Решение:
1. Поскольку M делит отрезок CD в отношении 2:3, можно выразить вектор CM и MD. Обозначим вектор CD как v.
2. Вектор CD можно выразить через векторы a и b:
CD = AB + AD = a + b.
3. Теперь найдем вектор CM:
CM = (2 / (2 + 3)) * CD = (2/5) * (a + b).
4. Теперь найдем вектор MD:
MD = (3 / (2 + 3)) * CD = (3/5) * (a + b).
5. Вектор M можно выразить как:
M = C + CM = (C) + (2/5)(a + b).
6. Вектор C можно выразить через вектор A:
C = A + AD + AB = A + b + a.
7. Теперь подставим координаты C в уравнение для M:
M = (A + b + a) + (2/5)(a + b).
8. Теперь найдем вектор AM:
AM = M - A.
Подставим выражение для M:
AM = [(A + b + a) + (2/5)(a + b)] - A
= b + a + (2/5)(a + b).
9. Объединим все векторы:
AM = b + a + (2/5)a + (2/5)b
= (1 + 2/5)a + (1 + 2/5)b
= (7/5)a + (7/5)b.
Ответ:
Вектор AM = (7/5)a + (7/5)b.