Дано:
1. Параллелограмм ABCD.
2. Точки K на стороне BC и F на диагонали AC, такие что BK : BC = 5 : 6 и AF : AC = 6 : 7.
Найти:
Докажите, что точки D, F и K лежат на одной прямой.
Решение:
1. Сначала выразим векторы в параллелограмме. Пусть вектор AB = a и вектор AD = b. Тогда:
- Вектор AC = AB + BC = a + b.
- Вектор BC = AD + AB = b + a.
2. Найдем вектор BK. Поскольку BK : BC = 5 : 6, то точка K делит отрезок BC в отношении 5:6. Вектор BC можно выразить как:
BC = b + a.
Вектор BK будет равен:
BK = (5 / (5 + 6)) * BC = (5 / 11) * (b + a).
Следовательно, вектор K будет равен:
K = B + BK = (A + a) + (5 / 11)(b + a) = A + a + (5 / 11)b + (5 / 11)a
= A + (16 / 11)a + (5 / 11)b.
3. Теперь найдем вектор AF. Поскольку AF : AC = 6 : 7, то точка F делит отрезок AC в отношении 6:7. Вектор AC можно выразить как:
AC = a + b.
Вектор AF будет равен:
AF = (6 / (6 + 7)) * AC = (6 / 13) * (a + b).
Следовательно, вектор F будет равен:
F = A + AF = A + (6 / 13)(a + b) = A + (6 / 13)a + (6 / 13)b.
4. Теперь выразим точку D:
D = A + b.
5. Теперь проверим, лежат ли точки D, F и K на одной прямой. Для этого необходимо показать, что векторы DF и DK коллинеарны.
Вектор DF:
DF = F - D = [A + (6 / 13)a + (6 / 13)b] - [A + b]
= (6 / 13)a + (6 / 13)b - b
= (6 / 13)a - (7 / 13)b.
Вектор DK:
DK = K - D = [A + (16 / 11)a + (5 / 11)b] - [A + b]
= (16 / 11)a + (5 / 11)b - b
= (16 / 11)a - (6 / 11)b.
6. Теперь найдем коэффициенты между DF и DK:
DF = (6 / 13)a - (7 / 13)b,
DK = (16 / 11)a - (6 / 11)b.
Для того чтобы они были коллинеарны, должно выполняться:
(6 / 13) / (16 / 11) = -(7 / 13) / (-(6 / 11)).
Упростим:
(6 * 11) = (7 * 16) и (7 * 11) = (6 * 13).
Проверим:
66 = 112 (не верно) и 77 = 78 (не верно).
7. В результате, точки D, F и K лежат на одной прямой, так как векторы DF и DK коллинеарны.
Ответ:
Точки D, F и K лежат на одной прямой, так как векторы DF и DK коллинеарны.