Дано:
Квадрат ABCD, где A является центром поворота на угол 90°. Длина стороны квадрата AB = 1 см.
Найти: длину отрезка BC1, где C1 — образ точки C при указанном повороте.
Решение:
1. Обозначим координаты точек квадрата ABCD:
- A(0, 0)
- B(1, 0)
- C(1, 1)
- D(0, 1)
2. При повороте точки C(1, 1) вокруг точки A(0, 0) на угол 90° координаты C1 можно вычислить по формуле поворота:
- C1_x = A_x + (C_x - A_x) * cos(θ) - (C_y - A_y) * sin(θ)
- C1_y = A_y + (C_x - A_x) * sin(θ) + (C_y - A_y) * cos(θ)
Подставляем значения (θ = 90°, cos(90°) = 0, sin(90°) = 1):
C1_x = 0 + (1 - 0) * 0 - (1 - 0) * 1 = -1
C1_y = 0 + (1 - 0) * 1 + (1 - 0) * 0 = 1
Таким образом, C1 = (-1, 1).
3. Теперь находим длину отрезка BC1:
- B(1, 0) и C1(-1, 1).
- Длина отрезка BC1 вычисляется по формуле:
|BC1| = √[(C1_x - B_x)² + (C1_y - B_y)²]
Подставляем значения:
|BC1| = √[(-1 - 1)² + (1 - 0)²]
= √[(-2)² + (1)²]
= √[4 + 1]
= √5.
Ответ: длина отрезка BC1 равна √5 см.