Дано:
Равносторонний треугольник ABC, где A является центром поворота на угол 120°. Длина стороны AB = 1 см.
Найти: длину отрезка BC1, где C1 — образ точки C при указанном повороте.
Решение:
1. Обозначим координаты точек треугольника ABC:
- A(0, 0)
- B(1, 0)
- Чтобы найти координаты точки C, используем свойства равностороннего треугольника. Поскольку угол A равен 60°, координаты C можно определить как:
- C(0.5, √(1² - 0.5²)) = (0.5, √(0.75)) = (0.5, √3/2).
2. Теперь найдем новые координаты C1 после поворота на 120° вокруг точки A(0, 0). Для поворота используем следующие формулы:
- C1_x = A_x + (C_x - A_x) * cos(θ) - (C_y - A_y) * sin(θ)
- C1_y = A_y + (C_x - A_x) * sin(θ) + (C_y - A_y) * cos(θ)
Подставляем значения (θ = 120°, cos(120°) = -0.5, sin(120°) = √3/2):
C1_x = 0 + (0.5 - 0) * (-0.5) - (√3/2 - 0) * (√3/2)
= -0.25 - (3/4)
= -1.
C1_y = 0 + (0.5 - 0) * (√3/2) + (√3/2 - 0) * (-0.5)
= 0.5 * (√3/2) - (√3/2) * 0.5
= 0.
Таким образом, C1 = (-1, 0).
3. Теперь находим длину отрезка BC1:
- B(1, 0) и C1(-1, 0).
- Длина отрезка BC1 вычисляется как:
|BC1| = |B_x - C1_x| = |1 - (-1)| = |1 + 1| = 2 см.
Ответ: длина отрезка BC1 равна 2 см.