дано:
Скорость течения реки v_t = 5 км/ч.
Общее расстояние, проплаваемое катером, S = 22 км.
Время в пути t = 170 минут = 170 / 60 ч = 2,8333 ч.
найти:
Собственная скорость катера v_c.
решение:
1) Пусть собственная скорость катера равна v_c (км/ч).
2) При движении вверх по течению, эффективная скорость катера будет:
v_вверх = v_c - v_t.
3) При движении вниз по течению, эффективная скорость катера будет:
v_вниз = v_c + v_t.
4) Расстояние до места назначения и обратно составляет 22 км. Таким образом, расстояние в одну сторону равно:
S_один_конец = 22 / 2 = 11 км.
5) Время, затраченное на путь вверх по течению, можно выразить как:
t_вверх = S_один_конец / v_вверх = 11 / (v_c - 5).
6) Время, затраченное на путь вниз по течению, можно выразить как:
t_вниз = S_один_конец / v_вниз = 11 / (v_c + 5).
7) Общее время в пути равно сумме времени пути вверх и вниз:
t = t_вверх + t_вниз.
Подставим значения:
2,8333 = 11 / (v_c - 5) + 11 / (v_c + 5).
8) Перемножим обе части уравнения на (v_c - 5)(v_c + 5):
2,8333 * (v_c - 5)(v_c + 5) = 11(v_c + 5) + 11(v_c - 5).
9) Раскроем скобки:
2,8333 * (v_c^2 - 25) = 11v_c + 55 + 11v_c - 55.
10) Упростим:
2,8333 * v_c^2 - 70,8333 = 22v_c.
11) Приведем все к одному уравнению:
2,8333 * v_c^2 - 22v_c - 70,8333 = 0.
12) Используем формулу для решения квадратного уравнения:
v_c = [22 ± sqrt(22^2 - 4 * 2,8333 * (-70,8333))] / (2 * 2,8333).
13) Вычислим дискриминант:
D = 22^2 - 4 * 2,8333 * (-70,8333) = 484 + 802,6664 = 1286,6664.
14) Теперь вычислим v_c:
v_c = [22 ± sqrt(1286,6664)] / 5,6666.
15) Посчитаем значение:
sqrt(1286,6664) ≈ 35,9.
Следовательно:
v_c = (22 ± 35,9) / 5,6666.
16) Мы берём положительное значение:
v_c = (22 + 35,9) / 5,6666 ≈ 10,2 км/ч.
ответ:
Собственная скорость катера составляет примерно 10,2 км/ч.