Дано:
- Радиус колеса R = 0,5 м
- Уравнение зависимости угла поворота f от времени: f(t) = t^3 + 2t^2 + 5t − 4
Найти:
1) угловую скорость,
2) линейную скорость,
3) угловое ускорение,
4) тангенциальное ускорение,
5) нормальное ускорение.
Решение:
1) Угловая скорость – это производная угла по времени. Вычислим угловую скорость, дифференцируя уравнение f(t):
ω(t) = df/dt = 3t^2 + 4t + 5.
2) Линейная скорость – это произведение угловой скорости на радиус:
v(t) = ω(t) * R.
Подставим значения:
v(t) = (3t^2 + 4t + 5) * 0,5 = 1,5t^2 + 2t + 2,5 м/с.
3) Угловое ускорение – это производная угловой скорости по времени. Для этого возьмем производную от ω(t):
α(t) = dω/dt = 6t + 4.
4) Тангенциальное ускорение – это произведение углового ускорения на радиус:
a_t(t) = α(t) * R = (6t + 4) * 0,5 = 3t + 2 м/с².
5) Нормальное ускорение – это выражение для ускорения, связанное с радиусом и угловой скоростью:
a_n(t) = ω(t)^2 * R = (3t^2 + 4t + 5)^2 * 0,5.
Вычислим:
a_n(t) = 0,5 * (9t^4 + 24t^3 + 49t^2 + 40t + 25) м/с².
Ответ:
1) Угловая скорость: ω(t) = 3t^2 + 4t + 5 рад/с.
2) Линейная скорость: v(t) = 1,5t^2 + 2t + 2,5 м/с.
3) Угловое ускорение: α(t) = 6t + 4 рад/с².
4) Тангенциальное ускорение: a_t(t) = 3t + 2 м/с².
5) Нормальное ускорение: a_n(t) = 0,5 * (9t^4 + 24t^3 + 49t^2 + 40t + 25) м/с².