Шар массой 40 кг раскачивают на верёвке, которая выдерживает максимальную силу натяжения 700 Н. Длина верёвки 4 м, массой верёвки пренебречь. На какой наибольшей высоте над положением равновесия может находиться центр тяжести шара, чтобы верёвка не оборвалась?
от

1 Ответ

Дано:  
m = 40 кг  
Fmax = 700 Н  
L = 4 м  
g = 9.81 м/с²  

Найти:  
h - максимальная высота, на которой может находиться центр тяжести шара.

Решение:  
Наибольшее натяжение верёвки будет в момент, когда шар находится в самом низком положении, и к этому моменту добавляется центробежная сила. Силу натяжения можно выразить как:
T = mg + m * v² / L,  

где T - сила натяжения, v - скорость шара в самой нижней точке. Для того, чтобы верёвка не оборвалась, максимальная сила натяжения T не должна превышать 700 Н.

Задача сводится к поиску максимальной скорости v, которую может достичь шар, находясь на высоте h от положения равновесия.

На высоте h скорость можно найти через закон сохранения механической энергии:
mgh = (1/2) * m * v²,

где h - высота, на которой шар находится, mgh - потенциальная энергия, (1/2) * m * v² - кинетическая энергия. Из этого уравнения можно выразить скорость v:
v = √(2gh).

Теперь подставим v² в уравнение для силы натяжения:
700 = 40 * 9.81 + 40 * (2 * 9.81 * h) / 4.

Решая это уравнение:
700 = 392 + 196 * h,
308 = 196 * h,
h ≈ 1.57 м.

Ответ: наибольшая высота h = 1.57 м.
от