Дано:
m = 0,1 кг (масса тележки)
k = 40 Н/м (жёсткость пружины)
x1 = 10 см = 0,1 м (начальное растяжение пружины)
x2 = 6 см = 0,06 м (текущее растяжение пружины)
v1 = 0 м/с (начальная скорость тележки)
Трение пренебречь.
Найти: скорость тележки, когда растяжение пружины составляет 6 см.
Решение:
1. Используем закон сохранения механической энергии. В начальный момент вся энергия системы заключена в потенциальной энергии пружины, а в момент, когда растяжение пружины составляет 6 см, энергия распределена между кинетической энергией тележки и потенциальной энергией пружины.
Потенциальная энергия пружины на растяжении x определяется формулой:
Eпот = (1/2) * k * x².
Кинетическая энергия тележки определяется формулой:
Eк = (1/2) * m * v².
По закону сохранения механической энергии:
Eпот1 + Eк1 = Eпот2 + Eк2.
На начальном этапе (x = x1) у тележки нет кинетической энергии, следовательно, вся энергия системы сосредоточена в потенциальной энергии пружины:
Eпот1 = (1/2) * k * x1².
Когда растяжение пружины составляет x2, часть энергии переходит в кинетическую энергию тележки. Тогда:
Eпот2 = (1/2) * k * x2²,
Eк2 = (1/2) * m * v².
Таким образом, у нас получается уравнение сохранения энергии:
(1/2) * k * x1² = (1/2) * k * x2² + (1/2) * m * v².
2. Подставим значения:
(1/2) * 40 * (0,1)² = (1/2) * 40 * (0,06)² + (1/2) * 0,1 * v².
Преобразуем уравнение:
(1/2) * 40 * 0,01 = (1/2) * 40 * 0,0036 + (1/2) * 0,1 * v².
0,2 = 0,072 + 0,05 * v².
3. Решим для v²:
0,05 * v² = 0,2 - 0,072,
0,05 * v² = 0,128,
v² = 0,128 / 0,05 = 2,56,
v = √2,56 ≈ 1,6 м/с.
Ответ: скорость тележки, когда растяжение пружины составляет 6 см, равна 1,6 м/с.