Дано:
- коэффициент трения лестницы о пол µ,
- длина лестницы L (не требуется для расчёта, так как все силы пропорциональны её длине),
- центр тяжести лестницы находится в середине лестницы,
- ускорение свободного падения g = 9,8 м/с².
Необходимо найти наименьший угол α, под которым лестница может стоять, не скользя по полу и не падая со стены.
Решение:
1. Рассмотрим силы, действующие на лестницу:
- Вес лестницы (массой m) действует вниз в центре тяжести, который находится на середине лестницы. Этот вес равен P = m * g.
- Нормальная сила от пола N1 действует вверх.
- Сила трения от пола F = µ * N1.
- Нормальная сила от стены N2 действует горизонтально.
2. Условия равновесия:
- По горизонтали: сумма всех сил в горизонтальном направлении должна быть равна нулю. То есть:
N2 = F = µ * N1.
- По вертикали: сумма всех сил в вертикальном направлении также должна быть равна нулю. То есть:
N1 = P = m * g.
3. Момент сил относительно точки, где лестница касается пола:
- Момент от силы трения F относительно точки касания пола: F * L / 2 * cos(α).
- Момент от силы N2 относительно точки касания пола: N2 * L * sin(α).
- Момент от веса P относительно точки касания пола: P * L / 2 * cos(α).
Условие равновесия моментов относительно точки касания пола:
(P * L / 2 * cos(α)) = (N2 * L * sin(α)).
4. Подставим выражение для N2 (из равновесия по горизонтали): N2 = µ * N1 = µ * P.
Подставим это в уравнение моментов:
(P * L / 2 * cos(α)) = (µ * P * L * sin(α)).
5. Упростим выражение:
P * cos(α) / 2 = µ * P * sin(α).
6. Умножим обе части уравнения на 2 и разделим на P:
cos(α) = 2 * µ * sin(α).
7. Разделим обе части уравнения на cos(α):
1 = 2 * µ * tan(α).
8. Из этого получаем:
tan(α) = 1 / (2 * µ).
9. Нахождение угла α:
α = arctan(1 / (2 * µ)).
Ответ: наименьший угол α, под которым лестница может стоять, равен arctan(1 / (2 * µ)).