дано:
объём каждого сосуда V = V.
в первом сосуде:
давление P₁ = 2 МПа = 2 * 10^6 Па,
температура T₁ = 600 K.
во втором сосуде:
давление P₂ = 2,5 МПа = 2,5 * 10^6 Па,
температура T₂ = 200 K.
найти:
установившееся давление P после охлаждения до температуры 200 К.
решение:
При соединении сосудов и охлаждении системы до одинаковой температуры (200 K), общее количество вещества остаётся постоянным, и можно применить закон Бойля-Мариотта и уравнение состояния идеального газа.
Для каждого сосуда используем уравнение состояния:
P₁ * V / T₁ = n₁ * R,
P₂ * V / T₂ = n₂ * R.
Так как температура в обоих сосудах одинаковая после охлаждения, можно объединить количества вещества. Подставим уравнение состояния для каждого сосуда:
n₁ = P₁ * V / T₁,
n₂ = P₂ * V / T₂.
Теперь, в соединённой системе с общей температурой 200 K, общее количество вещества n = n₁ + n₂. Таким образом, общее давление P в обоих сосудах можно выразить как:
P * (2V) / 200 = n₁ + n₂.
Подставим выражения для n₁ и n₂:
P * (2V) / 200 = (P₁ * V / T₁) + (P₂ * V / T₂).
Упростим:
P * 2 / 200 = (P₁ / T₁) + (P₂ / T₂).
Теперь подставим известные значения:
P * 2 / 200 = (2 * 10^6 / 600) + (2,5 * 10^6 / 200).
Посчитаем правую часть:
P * 2 / 200 = (3,33 * 10^3) + (1,25 * 10^4).
P * 2 / 200 = 1,583 * 10^4.
Теперь найдём P:
P = (1,583 * 10^4 * 200) / 2 = 1,583 * 10^4 * 100 = 1,583 * 10^6 Па.
ответ:
Установившееся давление в сосудах после охлаждения составит 1,583 МПа.