Question

Через блок перекинута невесомая нерастяжимая веревка, по обоим концам которой с ускорением a ̓1 и a ̓2 относительно веревки поднимаются две обезьянки массами m1 и m2 соответственно. Определить силу натяжения веревки Т и ускорения а1 и а2 обезьянок относительно земли. Массой блока пренебречь.

Answer 1

Дано:
- Масса первой обезьянки: m1
- Масса второй обезьянки: m2
- Ускорение первой обезьянки относительно веревки: a1
- Ускорение второй обезьянки относительно веревки: a2
- Тяжесть (ускорение свободного падения): g

Найти:
- Силу натяжения веревки: T
- Ускорения обеих обезьянок относительно земли: a1 и a2

Решение:

1. Рассмотрим систему из двух обезьянок, поднимающихся по веревке.

2. Обозначим натяжение веревки через T, а ускорения обезьянок относительно земли — через a1 и a2.

3. Для первой обезьянки с массой m1:

Уравнение для силы, действующей на обезьянку, будет следующим:
m1 * a1 = T - m1 * g

4. Для второй обезьянки с массой m2:

Уравнение для второй обезьянки:
m2 * a2 = T - m2 * g

5. Поскольку веревка нерастяжимая и невесомая, ускорения обеих обезьянок относительно земли связаны с ускорением блока. Обе обезьянки поднимаются с ускорениями относительно веревки, а значит, ускорение блока относительно земли равно нулю. Ускорение обеих обезьянок относительно земли будет одинаковым по величине, но направленным в противоположные стороны. Учитывая это, можно записать, что:

a1 = a2 = a (где a — общее ускорение обеих обезьянок относительно земли).

6. Подставим a1 = a2 = a в уравнения для обеих обезьянок:

m1 * a = T - m1 * g  
m2 * a = T - m2 * g

7. Теперь решим систему этих уравнений относительно T и a.

Из первого уравнения:
T = m1 * a + m1 * g

Из второго уравнения:
T = m2 * a + m2 * g

Приравняв два выражения для T, получим:
m1 * a + m1 * g = m2 * a + m2 * g

Переносим все слагаемые с ускорением на одну сторону, а с массами и ускорением свободного падения — на другую:
m1 * a - m2 * a = m2 * g - m1 * g

Факториализуем по a:
a * (m1 - m2) = g * (m2 - m1)

Таким образом, получаем ускорение:
a = g * (m2 - m1) / (m1 + m2)

8. Теперь подставим найденное ускорение a в одно из уравнений для T. Например, в уравнение для первой обезьянки:
T = m1 * a + m1 * g
T = m1 * (g * (m2 - m1) / (m1 + m2)) + m1 * g

Упростим:
T = m1 * g * (m2 - m1) / (m1 + m2) + m1 * g

T = m1 * g * ((m2 - m1) + (m1 + m2)) / (m1 + m2)

T = m1 * g * (2 * m2) / (m1 + m2)

Ответ:
- Сила натяжения веревки: T = (2 * m1 * m2 * g) / (m1 + m2)
- Ускорения обеих обезьянок относительно земли: a = g * (m2 - m1) / (m1 + m2)