дано:
v₁ = 120 м/мин = 2 м/с (скорость воды в узкой части трубы) Δp = 1.15 кПа = 1150 Па (разность давлений) ρ_воды = 1000 кг/м³ (плотность воды) ρ_нефти = 800 кг/м³ (плотность нефти, обычно в пределах 700-900 кг/м³, возьмем 800 для расчета)
найти:
v₂ - скорость нефти в широкой части трубы
решение: Применим уравнение Бернулли для идеальной жидкости, считая что изменение высоты пренебрежимо мало, тогда:
p₁ + (ρ * v₁²) / 2 = p₂ + (ρ * v₂²) / 2
где p₁ и p₂ - давления в узкой и широкой частях трубы, v₁ и v₂ - скорости потока в узкой и широкой частях, а ρ - плотность жидкости.
Разность давлений:
Δp = p₁ - p₂ = 1150 Па
Также нам известна скорость в узкой части, и нужно найти скорость в широкой части трубы.
Уравнение Бернулли для воды:
p₁ + (ρ_воды * v₁²) / 2 = p₂ + (ρ_воды * v₂_воды²) / 2 p₁ - p₂ = (ρ_воды * v₂_воды²) / 2 - (ρ_воды * v₁²) / 2 Δp = (ρ_воды / 2) * (v₂_воды² - v₁²)
Здесь v₂_воды скорость воды в широкой части трубы, v₁ - скорость воды в узкой части, а Δp разность давлений, можно выразить скорость воды в широкой части трубы: v₂_воды² = (2Δp/ρ_воды) + v₁² v₂_воды = sqrt((2Δp/ρ_воды) + v₁²) v₂_воды = sqrt((2*1150/1000)+2²) v₂_воды = sqrt(2.3+4) v₂_воды = sqrt(6.3)=2.51 м/с
Так как по условию задачи нужно определить скорость нефти, то уравнение Бернулли для нефти: p₁ + (ρ_нефти * v₁_нефти²) / 2 = p₂ + (ρ_нефти * v₂_нефти²) / 2 p₁ - p₂ = (ρ_нефти * v₂_нефти²) / 2 - (ρ_нефти * v₁_нефти²) / 2 Δp = (ρ_нефти / 2) * (v₂_нефти² - v₁_нефти²) Предположим, что v₁_нефти = 0 м/с тогда v₂_нефти² = (2Δp)/ρ_нефти v₂_нефти = sqrt((2Δp)/ρ_нефти) v₂_нефти = sqrt((2*1150)/800)= sqrt(2.875)=1.69
Мы знаем разность давлений между широкой и узкой частями, но нам нужно определить скорость нефти в широкой части, при этом нужно учесть, что разность давлений при движении воды и нефти одинакова.
Так как в условии не указанно, что течет нефть в узкой части, то будем считать, что в широкой части скорость нефти равна 0, тогда для воды, мы можем выразить скорость в широкой части. При переходе от узкой части к широкой скорость уменьшается, при этом растет давление.
Снова повторим расчет по уравнению Бернулли для воды
Δp = (ρ_воды / 2) * (v₁² - v₂_воды²) v₂_воды² = v₁² - (2 * Δp) / ρ_воды v₂_воды² = 2² - (2 * 1150) / 1000 v₂_воды² = 4 - 2.3 v₂_воды² = 1.7 v₂_воды = 1.3 м/с
Теперь найдем скорость нефти в широкой части трубы, считая что скорость в узкой части равна нулю.
Δp = (ρ_нефти / 2) * (v₂_нефти²) v₂_нефти² = 2Δp / ρ_нефти v₂_нефти = sqrt( (21150) / 800 ) v₂_нефти = sqrt(2.875)= 1.69 м/с
Ответ:
скорость течения нефти в широкой части трубы v₂ = 1.69 м/с