дано:
- Длины боковых сторон трапеции a = 6 см и b = 10 см.
- Соотношение площадей частей, на которые средняя линия делит трапецию, равно 5/11.
найти:
- Длины оснований трапеции A и B.
решение:
1. Обозначим основания трапеции как A и B. Площадь S трапеции можно выразить через среднюю линию:
S = (A + B) * h / 2,
где h - высота трапеции.
2. Так как трапеция может быть вписана в окружность, сумма длин её оснований равна сумме длин боковых сторон:
A + B = a + b = 6 + 10 = 16 см.
3. Пусть S1 - площадь верхней части трапеции (с основанием A), а S2 - площадь нижней части (с основанием B). Тогда по условию:
S1/S2 = 5/11.
4. Сумма площадей S1 и S2 составляет полную площадь S:
S1 + S2 = S.
5. Из соотношения S1/S2 = 5/11 можем записать:
S1 = 5k и S2 = 11k для некоторого k.
6. Подставляя в уравнение для полной площади, получаем:
5k + 11k = S → 16k = S.
7. Теперь подставим выражения для площадей в формулу площади трапеции:
(5k + 11k) = ((A + B) * h) / 2.
8. Заменяем A + B на 16:
16k = (16 * h) / 2 → 16k = 8h → h = 2k.
9. Теперь у нас есть выражение для высоты. Далее используем формулу для нахождения A и B, используя сумму оснований:
A + B = 16.
10. Также знаем, что:
S1 / S2 = (A + B) / (A + B) * h/((A + B) / 2).
11. Мы можем выразить длины оснований как:
A = x и B = 16 - x.
12. Учитывая, что A + B = 16, подставляем это в соотношение площадей:
5/11 = (x)(2k)/(y)(2k),
где y = 16 - x. Получаем:
5(16 - x) = 11x.
13. Раскроем скобки:
80 - 5x = 11x.
14. Переносим все x на одну сторону:
80 = 16x → x = 5.
15. Теперь можно найти A и B:
A = x = 5 см,
B = 16 - x = 16 - 5 = 11 см.
ответ:
Длины оснований трапеции составляют 5 см и 11 см.