Дано:
- масса Земли M_З = 81 * масса Луны M_Л,
- радиус Земли R_З = 4 * радиус Луны R_Л.
Найти: во сколько раз увеличится период колебаний математического маятника при переносе с Земли на Луну.
Решение:
1. Период колебаний математического маятника определяется формулой:
T = 2 * π * √(L / g),
где L — длина маятника, g — ускорение свободного падения.
2. Ускорение свободного падения на поверхности планеты зависит от массы планеты и радиуса планеты и рассчитывается по формуле:
g = G * M / R^2,
где G — гравитационная постоянная,
M — масса планеты,
R — радиус планеты.
3. При переносе с Земли на Луну, ускорения свободного падения будут:
g_З = G * M_З / R_З^2,
g_Л = G * M_Л / R_Л^2.
4. Теперь, учитывая данные о соотношении масс и радиусов Земли и Луны:
M_З = 81 * M_Л,
R_З = 4 * R_Л.
5. Подставим эти соотношения в выражения для ускорений:
g_З = G * (81 * M_Л) / (4 * R_Л)^2 = G * 81 * M_Л / (16 * R_Л^2) = (81 / 16) * (G * M_Л / R_Л^2) = (81 / 16) * g_Л.
6. Таким образом, ускорение свободного падения на Земле в 81/16 раз больше, чем на Луне:
g_З = (81 / 16) * g_Л.
7. Период колебаний на Земле T_З и на Луне T_Л можно выразить как:
T_З = 2 * π * √(L / g_З),
T_Л = 2 * π * √(L / g_Л).
8. Найдем отношение периодов:
T_Л / T_З = √(g_З / g_Л) = √(16 / 81) = 4 / 9.
9. Это означает, что период колебаний на Луне будет в 9/4 ≈ 2,25 раза больше, чем на Земле.
Ответ: Период колебаний математического маятника при переносе с Земли на Луну увеличится в 2,25 раза.