дано:
ε_0 = 8,854 * 10^(-12) Ф/м (постоянная диэлектрическая проницаемость вакуума),
ε_r = 5 (диэлектрическая проницаемость жидкости),
C_0 = C_вакуум (емкость конденсатора в воздухе).
найти:
Во сколько раз увеличится емкость конденсатора при погружении в диэлектрик.
решение:
1. Емкость плоского конденсатора в вакууме определяется формулой:
C_вакуум = ε_0 * S / d,
где S — площадь пластин, d — расстояние между ними.
2. Когда конденсатор погружается на половину в диэлектрик, его емкость изменяется. В этом случае можно рассмотреть конденсатор как состоящий из двух частей: одна часть в воздухе и другая в диэлектрике.
3. Для части с диэлектриком:
C_диэлектрик = ε_r * ε_0 * (S / 2) / d.
4. Общее значение емкости конденсатора можно найти по формуле для последовательного соединения:
1 / C_total = 1 / C_вакуум + 1 / C_диэлектрик.
5. Подставляем выражения для емкостей:
1 / C_total = 1 / (ε_0 * S / d) + 1 / (ε_r * ε_0 * (S / 2) / d).
6. Упростим выражение:
1 / C_total = (d / (ε_0 * S)) + (2 / (ε_r * ε_0 * S)),
1 / C_total = (d + 2d / ε_r) / (ε_0 * S).
7. Теперь найдем новое значение емкости:
C_total = (ε_0 * S) / (d + 2d / ε_r).
8. Упростим:
C_total = (ε_0 * S) / (d(1 + 2 / ε_r)).
9. Теперь найдем, во сколько раз увеличилась емкость:
C_total / C_вакуум = (ε_0 * S / (d(1 + 2 / ε_r))) / (ε_0 * S / d),
C_total / C_вакуум = 1 / (1 + 2 / ε_r).
10. Подставим известное значение ε_r:
C_total / C_вакуум = 1 / (1 + 2 / 5),
C_total / C_вакуум = 1 / (1 + 0,4),
C_total / C_вакуум = 1 / 1,4,
C_total / C_вакуум ≈ 0,714.
11. Таким образом, во сколько раз увеличится емкость:
Увеличение емкости = 1 / 0,714 ≈ 1,4.
ответ:
Емкость конденсатора увеличится примерно в 1,4 раза.