Question

Обозначим MC массу Солнца, m — массу планеты, R — радиус её орбиты, v — модуль скорости планеты.
а) Выразите модуль ускорения планеты а через заданные величины.
б) Выразите модуль силы F притяжения планеты Солнцем через заданные величины и гравитационную постоянную.
в) Выразите скорость планеты через гравитационную постоянную, массу Солнца и радиус орбиты планеты.

Answer 1

Дано:
- MC – масса Солнца
- m – масса планеты
- R – радиус орбиты планеты
- v – модуль скорости планеты
- G – гравитационная постоянная (G ≈ 6.67 * 10^-11 Н·м²/кг²)

Найти:
а) модуль ускорения планеты a,
б) модуль силы F притяжения планеты Солнцем,
в) скорость планеты v.

Решение:

а) Модуль ускорения планеты a можно выразить через центростремительное ускорение:
1. Центростремительное ускорение у планеты в орбите определяется как:
   a = v² / R

Ответ для части а:
Модуль ускорения планеты a = v² / R.

б) Модуль силы F притяжения между планетой и Солнцем определяется по закону всемирного тяготения:
1. Формула для силы:
   F = G * (MC * m) / R²

Ответ для части б:
Модуль силы F притяжения планеты Солнцем F = G * (MC * m) / R².

в) Теперь выразим скорость планеты v через известные величины. Для этого воспользуемся равенством между центростремительным ускорением и ускорением, вызванным притяжением к Солнцу:
1. Ускорение: a = F / m, где F = G * (MC * m) / R².
2. Подставляем:
   a = G * (MC / R²).
3. Приравниваем два выражения для ускорения:
   v² / R = G * (MC / R²).
4. Умножаем обе стороны на R:
   v² = G * (MC / R).
5. Извлекаем корень из обеих сторон:
   v = √(G * MC / R).

Ответ для части в:
Скорость планеты v = √(G * MC / R).