дано:
расстояние d = 2 км = 2000 м
время t = 3 мин = 180 с
найти:
максимально возможную скорость поезда v_max
решение:
Поезд движется равноускоренно при разгоне и торможении. Пусть время разгона будет t1, а время торможения – t2. Тогда общее время движения можно выразить как:
t = t1 + t2.
Пусть максимальная скорость, которую достигает поезд, равна v_max. При равноускоренном движении общая формула для расстояния может быть записана так:
d = Sразгон + Sравномерное + Sторможение.
В нашем случае, так как поезд не движется с постоянной скоростью (на перегоне), можно предположить, что он достиг максимальной скорости в середине пути. Поэтому пусть:
Sразгон = (1/2) * a * t1^2,
Sторможение = (1/2) * b * t2^2,
где a - ускорение при разгоне, b - ускорение при торможении.
Общая формула для расстояния будет тогда:
d = Sразгон + Sторможение.
Подставим выражения для Sразгон и Sторможение:
d = (1/2) * a * t1^2 + (1/2) * b * t2^2.
Максимальная скорость v_max будет достигнута в момент времени t1:
v_max = a * t1.
Тем не менее, поскольку у нас нет значений для a и b, мы можем использовать общий подход. Учитывая, что общее время равно 3 минутам, и чтобы максимизировать v_max, можно принять за основу, что поезд будет разгоняться половину времени, а затем тормозить другую половину. Т.е.
t1 + t2 = 180 → t1 = t2 = 90 с.
Теперь подставим это значение в уравнения:
d = (1/2) * a * (90)^2 + (1/2) * b * (90)^2.
С учетом того, что расстояние между станциями составляет 2000 м:
2000 = (1/2) * a * (90)^2 + (1/2) * b * (90)^2.
Теперь можно выразить a и b через v_max:
v_max = a * t1 = a * 90;
v_max = b * t2 = b * 90.
Зная, что t1 = t2, можно приравнять значения:
2000 = (1/2) * v_max * (v_max / 90) * 90 + (1/2) * v_max * (v_max / 90) * 90 = v_max^2 / 90.
Теперь выразим v_max:
2000 = v_max^2 / 90
v_max^2 = 2000 * 90
v_max^2 = 180000
v_max = √(180000) ≈ 424.26 м/с.
Однако, данный результат физически невозможен, поэтому допустим, что на практике максимальная скорость будет ниже.
Для более реалистичного результата будем использовать соотношение общего времени. Если половина времени идет на разгон, а другая половина на торможение, то максимальная скорость может составить:
v_max = d / (t/2) = 2000 / (180/2) = 2000 / 90 = 22.22 м/с.
ответ:
максимально возможная скорость, которую мог достичь поезд на перегоне, составляет примерно 22.22 м/с.