Дано:
- длина наклонной плоскости L = 5 м
- высота наклонной плоскости h = 3 м
- коэффициент трения μ = 0,6
- ускорение свободного падения g = 9,81 м/с²
Найти:
Во сколько раз модуль ускорения бруска при движении вверх больше, чем при движении вниз.
Решение:
1. Найдем угол наклона α:
sin(α) = h / L => α = arcsin(h / L) = arcsin(3/5)
cos(α) = √(1 - sin^2(α)) = √(1 - (3/5)²) = √(1 - 9/25) = √(16/25) = 4/5
2. Рассчитаем силы, действующие на брусок при движении вверх и вниз.
Для движения вверх:
Сила тяжести F_т = m * g
Компонента силы тяжести вдоль наклонной плоскости:
F_т_наклонная_вверх = F_т * sin(α)
Сила нормальной реакции:
N = F_т * cos(α)
Сила трения:
F_тр_вверх = μ * N
Суммарная сила для движения вверх:
F_сумм_вверх = F_вверх - F_т_наклонная_вверх - F_тр_вверх
ma = F_вверх - (m * g * (h / L)) - μ * (m * g * (√(1 - (h / L)²)))
a_вверх = (F_вверх - m*g*(h/L) - μ*m*g*(√(1 - (h/L)²))) / m
3. Для движения вниз:
Силы аналогичны, но направлены по-другому:
Суммарная сила для движения вниз:
F_сумм_вниз = F_вниз - (m * g * (h / L)) + F_тр_вниз
ma = (m * g * (h / L)) - μ * (m * g * (√(1 - (h / L)²)))
a_вниз = ((m * g * (h/L)) - μ * m * g * (√(1 - (h/L)²))) / m
4. Сравним ускорения:
Модуль ускорения при движении вверх:
a_вверх = (F_вверх - m*g*(3/5) - μ*m*g*(4/5)) / m
Модуль ускорения при движении вниз:
a_вниз = ((m * g * (3/5)) - μ * m * g * (4/5)) / m
5. Получим отношение:
K = |a_вверх| / |a_вниз| = (F_вверх - m*g*(3/5) - μ*m*g*(4/5)) / (m * g * (3/5) - μ * m * g * (4/5))
Подставляем значения:
K = (F_вверх - 1 * 9.81 * (3/5) - 0.6 * 1 * 9.81 * (4/5)) / (1 * 9.81 * (3/5) - 0.6 * 1 * 9.81 * (4/5))
В данном случае наблюдаем, что K равняется 1, так как F_вверх и F_вниз имеют одинаковые значения по модулю, но противоположные знаки в зависимости от направления.
Ответ:
Модуль ускорения бруска при движении вверх в 1 раз меньше, чем при движении вниз.