Дано:
- радиус окружности r = 30 см = 0,3 м,
- угол между образующей конуса и вертикалью α = 60°.
Найти:
период обращения шайбы T.
Решение:
1. Для шайбы, движущейся по горизонтальной окружности внутри конуса, необходимо учитывать центростремительное ускорение.
2. Ускорение свободного падения g ≈ 9,81 м/с².
3. Центростремительное ускорение a_c можно выразить через период T:
a_c = v² / r,
где v - линейная скорость шайбы.
4. Связь между линейной скоростью v и угловой скоростью ω:
v = ω * r.
5. Учитывая, что в конусе нормальная сила N направлена под углом α к вертикали, уравнение для вертикального равновесия примет вид:
N * cos(α) = mg.
6. Уравнение для горизонтального движения (центростремительная сила):
N * sin(α) = m * (v² / r).
7. Из первого уравнения выразим N:
N = mg / cos(α).
8. Подставим N во второе уравнение:
(mg / cos(α)) * sin(α) = m * (v² / r).
9. Сократим на m:
g * tan(α) = v² / r.
10. Выразим v:
v² = g * tan(α) * r.
11. Подставим известные значения:
tan(60°) = √3 ≈ 1,732.
v² = 9,81 * 1,732 * 0,3.
12. Вычислим:
v² ≈ 9,81 * 1,732 * 0,3 ≈ 5,09.
13. Найдем v:
v ≈ √5,09 ≈ 2,26 м/с.
14. Теперь найдем период T через линейную скорость v:
T = 2 * π * r / v.
15. Подставим значения:
T = 2 * π * 0,3 / 2,26.
16. Вычислим:
T ≈ (1,884) / 2,26 ≈ 0,834 с.
Ответ:
Период обращения шайбы T ≈ 0,834 с.