Question

Груз массой m подвешен к пружине жёсткостью k.
а) Сделайте чертёж; направьте ось х вертикально вниз и совместите начало координат с положением груза, при котором пружина не деформирована.
б) Запишите выражение для потенциальной энергии системы «груз + пружина». Примите, что пулевому значению потенциальной энергии груза соответствует положение груза, при котором пружина не деформирована.
в) При каком значении xmin потенциальная энергия системы «груз + пружина» наименьшая?
г) Какому значению xравн соответствует положение равновесия системы «груз + пружина»?
д) Какой вывод можно сделать из полученных результатов?
е) В каком положении груза его скорость максимальна?

Answer 1

а) Чертёж:
- Ось x направлена вертикально вниз.
- Начало координат (0) совпадает с положением груза, когда пружина не деформирована.
- При падении груза ось x увеличивается вниз, а положение груза обозначается как x.

б) Потенциальная энергия системы «груз + пружина»:
   Пусть х - смещение груза вниз от положения равновесия.
   Потенциальная энергия груза:
   E_pot_груза = m * g * x,
   где m - масса груза, g - ускорение свободного падения.
   
   Потенциальная энергия пружины:
   E_pot_пружины = (1/2) * k * x²,
   где k - жёсткость пружины.
   
   Общая потенциальная энергия системы:
   E_pot = E_pot_груза + E_pot_пружины = m * g * x + (1/2) * k * x².

в) Наименьшая потенциальная энергия достигается, когда:
   dE_pot/dx = 0.
   Найдем производную:
   dE_pot/dx = m * g + k * x.
   Установим равной нулю:
   m * g + k * x_min = 0.
   => x_min = -m * g / k.

г) Положение равновесия системы «груз + пружина» x_равн соответствует значению:
   x_равн = -m * g / k.
   Это значение указывает на то, что при этом смещении силы тяжести и силы пружины уравновешивают друг друга.

д) Вывод:
   Полученные результаты показывают, что положение равновесия системы определяется соотношением между массой груза, жёсткостью пружины и ускорением свободного падения. При этом в положении равновесия система находится в состоянии минимальной потенциальной энергии.

е) Максимальная скорость груза будет достигнута в точке, где потенциальная энергия минимальна, что соответствует положению равновесия, т.е. когда:
   v_max = максимальная скорость, x = x_равн.
   
Когда груз проходит через положение равновесия, его скорость максимальна, так как вся потенциальная энергия переходит в кинетическую.