Дано:
Длина ребра куба a = 10 см = 0,1 м,
Плотность воды ρв = 1000 кг/м³,
Плотность нефти ρн ≈ 800 кг/м³.
а) Какой толщины слой нефти надо налить поверх воды, чтобы уровень нефти находился на одном уровне с верхней гранью куба?
Решение:
Чтобы уровень нефти находился на одном уровне с верхней гранью куба, необходимо, чтобы выталкивающая сила, создаваемая нефтью, уравновешивала силу тяжести куба. Сила тяжести куба определяется по формуле:
Fт = m * g = ρв * V * g = ρв * a³ * g,
где m — масса куба, V — объём куба, g — ускорение свободного падения (будем считать 9,81 м/с²).
Выталкивающая сила нефти, которая будет действовать на куб, определяется по аналогичной формуле:
Fв = ρн * Vн * g,
где Vн — объём нефти, выталкивающий куб. Объём нефти можно выразить через площадь поперечного сечения слоя нефти и толщину этого слоя h. Тогда:
Vн = S * h = a² * h.
Для равенства выталкивающих сил, при которых уровень нефти будет на одном уровне с верхней гранью куба, имеем:
ρв * a³ = ρн * a² * h.
Решим относительно h:
h = (ρв * a³) / (ρн * a²) = (ρв * a) / ρн.
Подставляем известные значения:
h = (1000 * 0,1) / 800 = 0,125 м.
Ответ: Толщина слоя нефти должна быть 0,125 м.
б) Изменилась ли при этом глубина погружения куба в воду? Если да, то насколько?
Решение:
Теперь рассчитаем изменение глубины погружения куба в воду.
Когда слой нефти налит, куб продолжает плавать, но на него теперь действует не только выталкивающая сила воды, но и нефти. Общая сила Архимеда будет равна сумме выталкивающих сил от воды и нефти:
Fв_общ = Fв_вода + Fв_нефть = ρв * a³ * g + ρн * a² * h * g.
Теперь мы ищем новую глубину погружения куба в воду. Пусть глубина погружения куба в воду после наливания нефти будет x. Тогда выталкивающая сила от воды будет:
Fв_вода = ρв * a² * x * g.
При равновесии сил:
ρв * a² * x * g = ρв * a³ * g + ρн * a² * h * g.
Упростим:
ρв * a² * x = ρв * a³ + ρн * a² * h.
Подставим значения:
1000 * 0,1² * x = 1000 * 0,1³ + 800 * 0,1² * 0,125.
Решим для x:
1000 * 0,01 * x = 1000 * 0,001 + 800 * 0,01 * 0,125,
10 * x = 1 + 1,
x = 2 / 10 = 0,2 м.
Ответ: Глубина погружения куба в воду изменится и составит 0,2 м.