дано:
- количество вещества n = 4 моля
- начальная температура T1 = 100 K
- увеличение объема и давления в 3 раза
найти:
- общее количество теплоты Q, полученное газом в результате изобарного и изохорного нагревания
решение:
Сначала найдем конечную температуру газа после изобарного нагревания. Изменение давления и объема связано с температурой согласно уравнению состояния идеального газа:
pV = nRT.
Так как давление и объем увеличиваются в 3 раза, мы можем записать:
p2 = 3p1, V2 = 3V1.
Подставляем в уравнение состояния:
(3p1)(3V1) = nRT2.
Таким образом:
9p1V1 = nRT2.
С учетом того, что p1V1 = nRT1, мы можем заменить p1V1:
9(nRT1) = nRT2.
Следовательно:
T2 = 9T1 / n.
Теперь подставим значение T1:
T2 = 9 * 100 K / 4 = 225 K.
Теперь найдем количество теплоты, полученное при изобарном нагревании до температуры T2. Для этого используем формулу:
Q_изобарное = n * C_p * (T2 - T1),
где C_p для одноатомного газа равно (5/2)R.
Сначала найдем R:
R = 8.31 Дж/(моль·К).
Теперь подставим значения:
C_p = (5/2) * 8.31 = 20.775 Дж/(моль·К).
Теперь вычислим Q_изобарное:
Q_изобарное = 4 моль * 20.775 Дж/(моль·К) * (225 K - 100 K)
= 4 * 20.775 * 125
= 4 * 2596.875
= 10387.5 Дж.
Теперь перейдем к изохорному нагреванию от T2 до конечной температуры T3. При этом процессе объем остается постоянным. Так как давление меняется, то конечная температура T3 будет определяться по аналогии:
p2 / p1 = T2 / T1,
p2 / (nRT1 / V1) = T2 / T1.
Уже известно, что p2 = 3p1, поэтому:
3p1 / p1 = T3 / T2 → 3 = T3 / T2 → T3 = 3T2.
Теперь подставим значение T2:
T3 = 3 * 225 K = 675 K.
Теперь находим количество теплоты, полученное при изохорном нагревании:
Q_изохорное = n * C_v * (T3 - T2),
где C_v = (3/2)R.
C_v = (3/2) * 8.31 = 12.465 Дж/(моль·К).
Теперь подставим значения:
Q_изохорное = 4 моль * 12.465 Дж/(моль·К) * (675 K - 225 K)
= 4 * 12.465 * 450
= 4 * 5619.75
= 22479 Дж.
Теперь суммируем количество теплоты, полученное в обоих процессах:
Q_total = Q_изобарное + Q_изохорное
= 10387.5 Дж + 22479 Дж
= 32866.5 Дж.
ответ:
Общее количество теплоты, полученное газом в результате изобарного и изохорного нагревания, составляет 32866.5 Дж.