Question

В приборе для нагревания воды есть два нагревательных элемента. Если включить только первый элемент, то вода закипит через 20 мин, а если только второй — то через 30 мин. Сколько времени понадобится, чтобы вскипятить воду, если подключить оба элемента: последовательно; параллельно? Считайте, что тепловыми потерями можно пренебречь. Масса и начальная температура воды во всех случаях одинаковы.

Answer 1

дано: t1 = 20 мин (время нагрева первым элементом) t2 = 30 мин (время нагрева вторым элементом) Q - количество теплоты, необходимое для нагрева воды (одинаково во всех случаях)

найти: t_посл - время нагрева при последовательном соединении t_парал - время нагрева при параллельном соединении

решение:
Мощность первого нагревателя: P1 = Q / t1
Мощность второго нагревателя: P2 = Q / t2

Мощность при последовательном соединении:
P_посл = U^2 / R_посл R_посл = R1 + R2 Из P = U^2 / R выразим R = U^2 / P: R1 = U^2 / P1 R2 = U^2 / P2 R_посл = U^2 / P1 + U^2 / P2 = U^2 * (1/P1 + 1/P2) P_посл = U^2 / (U^2 * (1/P1 + 1/P2)) P_посл = 1 / (1/P1 + 1/P2) = (P1 * P2) / (P1 + P2)

Мощность при параллельном соединении:
P_парал = U^2 / R_парал 1/R_парал = 1/R1 + 1/R2 1/R_парал = P1/U^2 + P2/U^2 = (P1+P2)/U^2 R_парал = U^2 / (P1 + P2) P_парал = U^2 / (U^2 / (P1 + P2)) P_парал = P1 + P2

Время нагревания при последовательном соединении:
t_посл = Q / P_посл t_посл = Q / ((P1 * P2) / (P1 + P2)) t_посл = Q * (P1 + P2) / (P1 * P2) t_посл = Q * (Q/t1 + Q/t2) / (Q/t1 * Q/t2) t_посл = (1/t1 + 1/t2) / (1/(t1t2)) = t1t2*(1/t1 + 1/t2) = t2+t1

t_посл = t1 + t2 t_посл = 20 мин + 30 мин = 50 мин

Время нагревания при параллельном соединении:
t_парал = Q / P_парал t_парал = Q / (P1 + P2) t_парал = Q / (Q/t1 + Q/t2) t_парал = 1 / (1/t1 + 1/t2) t_парал = (t1 * t2) / (t1 + t2) t_парал = (20 мин * 30 мин) / (20 мин + 30 мин) t_парал = 600 / 50 мин t_парал = 12 мин

ответ: Время нагрева при последовательном соединении равно 50 мин. Время нагрева при параллельном соединении равно 12 мин.