Дано:
- Период колебаний T = 0,8 с.
Найти:
Моменты времени в течение первого периода колебаний, когда кинетическая энергия груза равна потенциальной энергии пружины.
Решение:
1. Обозначим циклическую частоту ω:
ω = 2π / T
= 2π / 0,8
≈ 7,85 рад/с.
2. Кинетическая (K) и потенциальная (U) энергии системы выражаются следующим образом:
Кинетическая энергия:
K = (1/2) * m * v^2,
где v = dx/dt = -xmax * ω * sin(ωt).
Потенциальная энергия:
U = (1/2) * k * x^2,
где x = xmax * cos(ωt).
3. Условия равенства кинетической и потенциальной энергий:
K = U
(1/2) * m * v^2 = (1/2) * k * x^2.
4. Подставим выражения для K и U:
(1/2) * m * (-xmax * ω * sin(ωt))^2 = (1/2) * k * (xmax * cos(ωt))^2.
Сократим на (1/2) и подставим k через массу и период: k = m * (2π/T)^2.
Итак, уравнение становится:
m * (xmax^2 * ω^2 * sin^2(ωt)) = m * (2π/T)^2 * (xmax^2 * cos^2(ωt)).
5. Сократим на mxmax^2:
ω^2 * sin^2(ωt) = (2π/T)^2 * cos^2(ωt).
6. Заменим ω:
(2π / T)^2 * sin^2(ωt) = (2π/T)^2 * cos^2(ωt).
7. Из этого уравнения можно выразить соотношение:
sin^2(ωt) = cos^2(ωt).
8. Далее, используя тригонометрическое тождество:
tan^2(ωt) = 1, следовательно, tan(ωt) = ±1.
9. Решение уравнения:
ωt = π/4 + n(π/2), где n = 0, 1, 2,...
10. Поскольку T = 0,8 с, то ω = 2π / 0,8 и мы можем выразить время t:
t = (π/4) / ω + n(T/4)
= (T / 8) + n(T/4).
11. Подставляя значения для первого периода (n=0):
t1 = (0,8 / 8) = 0,1 с.
Для второго момента времени (n=1):
t2 = (0,8 / 4) = 0,2 с.
12. Также для третьего момента времени при n = 2:
t3 = (0,8 / 8) + (0,8 / 4) = 0,3 с.
Итак, возможные моменты времени будут:
t = 0,1 с, 0,3 с, 0,5 с, 0,7 с.
Ответ: Моменты времени, когда кинетическая энергия равна потенциальной, — это 0,1 с, 0,3 с, 0,5 с, 0,7 с.