Дано:
- начальная температура смеси T0 = 0 °C
- конечная температура смеси Tf = 2 °C
- время, через которое изменилась температура dt = 60 минут = 3600 секунд
- удельная теплоемкость воды c_w = 4.2 кДж/(кг·К) = 4200 Дж/(кг·К)
- удельная теплота плавления льда L = 0.33 МДж/кг = 330000 Дж/кг
Найти:
- долю массы льда от общей массы смеси (в процентах).
Решение:
1. Обозначим массу льда как M_лед и массу воды как M_вода. Общая масса смеси M_total = M_лед + M_вода.
2. В начале процесса все вещество находилось при температуре 0 °C. Когда температура смеси начала повышаться, это значит, что весь лед сначала плавился, а затем уже вода нагревалась.
3. Количество теплоты Q, необходимое для плавления льда и последующего нагрева до 2 °C можно разбить на два этапа:
a) Теплота, необходимая для плавления льда:
Q_плавление = M_лед * L
b) Теплота, необходимая для нагрева получившейся воды от 0 °C до 2 °C:
Q_нагрев = (M_лед + M_вода) * c_w * (Tf - T0)
4. По закону сохранения энергии, количество теплоты, полученное водой от окружающей среды, должно быть равно количеству теплоты, затраченной на плавление льда и нагрев воды:
Q_нагрев = Q_плавление + Q_нагрев_воды
Можно выразить:
Q_нагрев = M_вода * c_w * (Tf - T0)
5. Подставляя известные значения в уравнение:
M_вода * c_w * (Tf - T0) = M_лед * L + (M_лед + M_вода) * c_w * (Tf - T0)
6. Преобразуем уравнение:
M_вода * 4200 * (2 - 0) = M_лед * 330000 + (M_лед + M_вода) * 4200 * (2 - 0)
Получаем:
M_вода * 8400 = M_лед * 330000 + (M_лед + M_вода) * 8400.
7. Перепишем уравнение для удобства:
M_вода * 8400 - M_лед * 8400 = M_лед * 330000.
8. Сгруппируем по массам льда и воды:
M_вода * 8400 - M_лед * 8400 = M_лед * 330000,
8400 * (M_вода - M_лед) = M_лед * 330000.
9. Разделим обе стороны на 8400 и выразим отношение:
M_вода - M_лед = (330000 / 8400) * M_лед,
M_вода = M_лед + (330000 / 8400) * M_лед,
M_вода = M_лед * (1 + 39.2857),
M_вода ≈ 40.2857 * M_лед.
10. Теперь вычислим процентное соотношение массы льда в общей массе смеси:
доля_льда = (M_лед / (M_лед + M_вода)) * 100%,
где M_вода = 40.2857 * M_лед.
11. Подставим значения:
доля_льда = (M_лед / (M_лед + 40.2857 * M_лед)) * 100%,
доля_льда = (1 / (1 + 40.2857)) * 100%,
доля_льда ≈ (1 / 41.2857) * 100% ≈ 2.42%.
Ответ:
Доля массы льда от общей массы смеси, находящейся в ведре, составляет приблизительно 2.42%.