Дано:
t1 (время охлаждения супа в большой тарелке) = 20 мин = 1200 секунд
n (количество маленьких тарелок) = 8
Найти:
t2 (время охлаждения супа в маленьких тарелках).
Решение:
1. Обозначим объем супа V и площадь поверхности большой тарелки S. Площадь поверхности маленькой тарелки будет равна S' = S / n, так как они геометрически подобны.
2. Объем супа из большой тарелки равен V, который равен сумме объемов супа в восьми маленьких тарелках:
V = n * V'.
3. Температура охлаждающегося супа изменяется согласно закону охлаждения Ньютона, который гласит, что скорость изменения температуры пропорциональна разности температур между телом и окружающей средой.
4. Запишем уравнение для большой тарелки:
dT/dt = -k * S * (T - T_с),
где k — коэффициент теплопередачи, T — температура супа, T_с — температура окружающей среды.
5. Для маленьких тарелок:
dT'/dt = -k * S' * (T' - T_с).
6. Так как S' = S / 8 и учитывая, что n = 8, можно записать:
S' = S / 8, следовательно dT'/dt = -k * (S/8) * (T' - T_с).
7. Сравниваем два уравнения:
- Для большой тарелки: -k * S * (T - T_с).
- Для маленьких тарелок: -k * (S / 8) * (T' - T_с).
8. Учитывая, что при равных начальных температурах и одинаковой разности температур, получаем:
dT'/dt = (8 * dT/dt).
9. Интегрируем обе стороны уравнения с учетом времени:
t2 = t1 / 8, по аналогии с тем, что время охлаждения обратно пропорционально площади поверхности и количеству тарелок.
10. Подставляем значение t1:
t2 = 1200 / 8 = 150 секунд.
Ответ:
Время охлаждения супа в маленьких тарелках составит 150 секунд.